Bell testi — CHSH Eşitsizliği ile yerel gerçekçiliği dışlamak

Bell testi, gözlemlediğimiz dolanıklık korelasyonlarının basit bir klasik hikâye ile — uzaktaki iki parçacığın daha önceden ortaklaşa seçilmiş, yerelde saklı bir “plan” veya gizli değişken taşımış olması — tutarlı biçimde açıklanıp açıklanamayacağını ayırt etmeye yarar. Soru hem kuramsal hem deneysele bağlanır; ikisi karıştırılmamalıdır.

Burada deneysel derken tek bir ölçüm çubuğu değil, tekrarlanan bir ölçüm protokolü kastedilir: dolanık çiftleri çok kez hazırlamak, iki gözlemcinin (Alice/Bob benzeri) farklı baz veya açılarda ölçüm yapması, sonuçları bir araya getirip birlikte korelasyonları çıkarmak ve çıkan sayının, yerel gizli-değişken modelinin taşıyamayacağı Bell tipi bir üst sınırı aşıp aşmadığına bakmaktır. Böylece “matematikte mümkün mü?” sorusu “doğada gerçekten böyle mi?” sorusuna bağlanır; deney boşlukları (İngilizce loophole) denilen istisna yollarını daraltmak için uzaklık ve zamanlama gibi ek şartlar konur — özet mantığı aşağıda Test ne ölçer? ve Yer ve zaman ayrımı paragraflarında açıyoruz.

1964 ve sonrası. John Stewart Bell’in gösterdiği şey, “yerel + gizli-değişken” varsayımının kuantum mekaniğinin bazı korelasyon öngörüleriyle aynı anda uyumlu kalamayacağıdır — önce bir teorem gelir. Laboratuvarlarda yapılan çok sayıda çalışma ise bu ihlalin gözlemlendiğini ve dolayısıyla doğanın tam da klasik “ön-akıl” resmine uymadığını güçlü biçimde destekler; tarihçe ve Nobel bağlamına sayfanın ilerleyen bölümünde değiniyoruz.

"Hayaletimsi etki"den protokole

Einstein'ın itirazı Einstein, dolanıklığı "uzaktan hayaletimsi etki" (spooky action at a distance) olarak nitelendirip kuantum mekaniğinin eksik olduğunu, daha altta klasik bir gizli değişkenin bulunması gerektiğini öne sürdü. Bell testi tam olarak bu hipotezi sınamak için tasarlandı.

Bell'in zarif çıkışı Bell, eğer evren yerel ve gerçekçi (her parçacığın değerleri önceden tanımlı) ise, belirli ölçüm korelasyonlarının matematiksel olarak üst sınırlanmak zorunda olduğunu kanıtladı. Buna Bell eşitsizliği denir. Kuantum mekaniği bu sınırı bilinçli biçimde aşar; deney hangisinin doğru olduğunu söyleyebilir hâle gelir.

Test ne ölçer?

Korelasyonlar, ortalama değil Bell testi, iki kübitin tek tek ölçüm sonuçlarına değil, ölçüm sonuçlarının birlikte değerlendirildiğindeki korelasyonlarına bakar. Tek kübitlik istatistik klasik ile aynı görünür; fark sadece çiftler birlikte karşılaştırıldığında ortaya çıkar.

Yer ve zaman ayrımı Pratik deneylerde Alice ve Bob'un ölçümleri, ışık hızıyla bile birbirine sinyal yollayamayacak kadar uzak ve hızlı yapılır (space-like separated). Böylece "ölçümler arasında klasik bir mesaj geçti" itirazı elenir; ihlali sadece kuantum mekaniği açıklayabilir.

Pratikte en yaygın Bell testi versiyonu, dört bilim insanının soyadından oluşan CHSH (Clauser, Horne, Shimony, Holt) testidir. Alice ve Bob, iki ayrı ölçüm açısı arasından her atışta rastgele birini seçer; tüm atışlar sonunda dört açı kombinasyonunun korelasyonu toplanır.

$S$ değeri

CHSH korelasyon toplamı $$S = \langle A_0 B_0 \rangle + \langle A_0 B_1 \rangle + \langle A_1 B_0 \rangle - \langle A_1 B_1 \rangle$$ Burada $A_0, A_1$ Alice'in iki ölçüm açısı; $B_0, B_1$ Bob'un iki ölçüm açısı. $\langle A_i B_j \rangle$ ifadesi, "iki sonuç çarpılıp ortalaması alınmış" korelasyon değeridir; -1 ile +1 arasında bir sayıdır.

Klasik ve kuantum sınırları

Klasik sınır: $|S| \leq 2$ Yerel gizli değişken hipotezi altında dört korelasyonun toplamı için yapılabilecek en iyi şey 2'dir. Hangi gizli kuralı seçerseniz seçin, bu sınırı aşamazsınız — Bell'in kanıtı bu noktayı sıkı bir şekilde gösterir.

Kuantum sınırı: $|S| \leq 2\sqrt{2} \approx 2.828$ Bell çifti üzerinden uygun açılarla yapılan ölçüm bu üst değere ulaşır. Bu sayıya Tsirelson sınırı denir; kuantum mekaniğinin korelasyon verebileceği en büyük değerdir. Sinyal taşıyamayan, yalnızca korelasyon üreten bu düzenekte teorik tavan budur: daha “güçlü” bir teori olsaydı $|S|$ 4'e kadar çıkabilirdi; fakat kuantum mekaniğinde üst sınır $2\sqrt{2}$’de “kilitlenir”.

Bell testini, daha önce gördüğümüz Bell durumu devresinden ayıran tek şey ölçüm aşamasıdır. Aynı $\ket{\Phi^+}$ Bell çiftini hazırlarız; ama bu defa Alice ve Bob, ölçüm öncesi kübitlerini farklı eksenlere döndürürler. Ne kadar farklı? Tam olarak Bell eşitsizliğini ihlal etmeye en uygun açılara.

Aşama 1 Bell çiftinin hazırlanması

Aynı eski reçete $\ket{\Phi^+} = (\ket{00} + \ket{11})/\sqrt{2}$ üretmek için q0'a Hadamard uygulanır, ardından q0 → q1 CNOT eklenir. Bu nokta itibariyle iki kübit maksimum dolanık; ama henüz Bell testinin bağımsız parçası kurulmadı — ölçüm açıları henüz seçilmedi.

Aşama 2 ölçüm bazının seçimi

Açıyı kübite bindirme Ölçümün hangi yönde yapılacağını seçmek için, ölçüm öncesi her kübite $R_y(\theta)$ rotasyonu uygulanır. Bu, "ölçüm sonrası klasik bilgiyi okurken hangi eksende okuduğunu" belirler; pratikte ölçüm aletini döndürmek yerine kübiti döndürürüz. Aynı sonucu verir.

CHSH için seçilen açılar $S$ değerini en yüksekleştirmek için Alice $\theta_{A_0} = 0$, $\theta_{A_1} = \pi/2$ ($90°$); Bob ise $\theta_{B_0} = \pi/4$ ($45°$), $\theta_{B_1} = -\pi/4$ ($-45°$ ya da eşdeğer olarak $135°$) açılarını seçer. Bu açı kombinasyonu Tsirelson sınırına dokunur: $|S| = 2\sqrt{2}$.

Aşama 3 dört devrenin istatistiği

Tek devre yetmez CHSH'in formülü dört farklı korelasyonu toplar: $\langle A_0 B_0 \rangle, \langle A_0 B_1 \rangle, \langle A_1 B_0 \rangle, \langle A_1 B_1 \rangle$. Bu yüzden pratikte aynı Bell devresini dört kez kurarız — her seferinde farklı bir Alice/Bob açı çiftiyle — ve her birini binlerce shot çalıştırırız.

Korelasyonun klasik formülü Her devre için $E = P_{00} + P_{11} - P_{01} - P_{10}$ hesaplanır; "aynı sonuç sayısı eksi farklı sonuç sayısı, toplam atışa bölünmüş". Sonuç -1 (tam zıt) ile +1 (tam aynı) arasındadır. Dört E değerini CHSH formülüne yerleştirip $S$ bulunur.

1. 1

   İki kübitlik bir devrede $\ket{\Phi^+}$ Bell çiftini hazırla (H + CNOT).

2. 2

   Alice'in q0 kübitine bir Alice açısıyla Ry(θ_A) uygula; Bob'un q1 kübitine bir Bob açısıyla Ry(θ_B) uygula.

3. 3

   İki kübiti de ölç. 1024–4096 shot ile her olası sonuç (00, 01, 10, 11) için olasılıkları çıkar.

4. 4

   Tek bir korelasyonu hesapla: $E(\theta_A, \theta_B) = P_{00} + P_{11} - P_{01} - P_{10}$.

5. 5

   Aynı reçeteyi dört açı kombinasyonu için tekrarla. CHSH'i topla: $S = E(0, \pi/4) + E(0, -\pi/4) + E(\pi/2, \pi/4) - E(\pi/2, -\pi/4)$. Sonuç ~$2.83$ ise yerel gerçekçilik elenmiştir.

Aşağıdaki örnek tek bir Alice/Bob açı çifti için Bell testi devresini kurar ve ölçer. Tam CHSH için bu devreyi dört açı kombinasyonunda çalıştırıp sonuçları toplamanız yeterli; örnek, devrenin yapısını parametrik bir fonksiyon olarak gösterir.

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit_aer import AerSimulator


def create_bell_test_circuit(theta_a, theta_b):
    qc = QuantumCircuit(2, 2)

    # 1. Bell çifti oluştur
    qc.h(0)
    qc.cx(0, 1)
    qc.barrier()

    # 2. Ölçüm bazlarına döndür (Alice ve Bob'un seçimleri)
    qc.ry(theta_a, 0)
    qc.ry(theta_b, 1)

    # 3. Ölçüm
    qc.measure([0, 1], [0, 1])
    return qc


# Ölçüm sonuçlarından korelasyon E(θA, θB) çıkarımı
def correlation_from_counts(counts):
    # E = (n00 + n11 - n01 - n10) / N
    n00 = counts.get("00", 0)
    n11 = counts.get("11", 0)
    n01 = counts.get("01", 0)
    n10 = counts.get("10", 0)
    total = n00 + n11 + n01 + n10
    if total == 0:
        return 0.0
    return (n00 + n11 - n01 - n10) / total


# Tam CHSH skoru S = E(a0,b0)+E(a0,b1)+E(a1,b0)-E(a1,b1)
def calculate_chsh(simulator, shots=4096):
    # CHSH için sık kullanılan açı seti (Tsirelson'a yakın)
    # A0=0, A1=π/2; B0=π/4, B1=-π/4
    a0, a1 = 0, np.pi / 2
    b0, b1 = np.pi / 4, -np.pi / 4

    combos = [
        ("A0B0", a0, b0),
        ("A0B1", a0, b1),
        ("A1B0", a1, b0),
        ("A1B1", a1, b1),
    ]

    E = {}
    for label, theta_a, theta_b in combos:
        qc = create_bell_test_circuit(theta_a, theta_b)
        counts = simulator.run(qc, shots=shots).result().get_counts()
        E[label] = correlation_from_counts(counts)

    S = E["A0B0"] + E["A0B1"] + E["A1B0"] - E["A1B1"]
    return S, E


# Alice için 0, Bob için pi/4 (45 derece)
theta_a = 0
theta_b = np.pi / 4

qc = create_bell_test_circuit(theta_a, theta_b)

# Çalıştırma
simulator = AerSimulator()
job = simulator.run(qc, shots=2048)
counts = job.result().get_counts()

print(f"\nAlice: {theta_a} rad, Bob: {theta_b:.2f} rad için ölçüm:")
print(counts)

# Opsiyonel: CHSH skorunu hesapla (4 devre = 4 açı kombinasyonu)
S, E = calculate_chsh(simulator, shots=4096)
print(f"\nCHSH skoru S ≈ {S:.3f} (ideal Tsirelson üst sınırı ≈ 2.828)")

Kod analizi · satır satır

Importlar numpy CHSH açılarının ($\pi/4$ vs.) sembolik tanımı için zorunludur. QuantumCircuit devre nesnesini tutar; AerSimulator yerel simülatör.

create_bell_test_circuit(theta_a, theta_b) Devreyi parametrik bir fonksiyon olarak yazmak Bell testinin kalbinde olan "aynı reçeteyi dört kez farklı açıyla çalıştır" mantığını kod düzeyinde taşır. Tam CHSH yapacaksanız bu fonksiyonu dört açı çiftinde çağırıp sonuçları biriktirirsiniz.

qc.h(0) + qc.cx(0, 1) Bell çiftini kuran iki kapı; Bell durumu sayfasının birebir aynısı. Bu sayfanın yeniliği test bölümünde, burada değil.

qc.barrier() Görsel ayraç + transpiler optimizasyonunu engelleme. CHSH için kritik: ölçüm öncesi Ry kapılarının Bell çifti hazırlığıyla karışmamasını garantiler — yoksa transpiler ölçüm açılarını hazırlık aşamasına sızdırarak sonucu silebilir.

qc.ry(theta_a, 0) Alice'in ölçüm açısını q0 kübitine bindirir. Fiziksel olarak: ölçüm aletini o açıya çevirmenin matematik karşılığı. Açı 0 ise standart Z-baz ölçümüdür; $\pi/2$ ise X-baz ölçümüne denktir.

qc.ry(theta_b, 1) Aynı şekilde Bob'un açısı q1'e uygulanır. Önemli detay: Alice ve Bob'un kübitleri ayrı kübitler — birbirine müdahale etmiyorlar. CHSH testinin varsayımı budur: yerel ölçüm.

qc.measure([0, 1], [0, 1]) İki kübit, klasik kayda yazılır. Çıktı dört olası sonuçtan birinde (00, 01, 10, 11) düşer. Tek başına bir bitin dağılımı yine ~%50 / ~%50 görünür; CHSH'in sırrı çiftlerin birlikte dağılımındadır.

shots=2048 Bell devrelerinde 1024 yeterliydi; CHSH değerinin hassas bir biçimde $2\sqrt{2}$'e yaklaştığını görmek için 2048 daha temiz bir başlangıç. Tam CHSH için (dört açı, her biri 4096 shot) ~16k ölçüm hedefleyin.

Çalıştırma için tek bir Python ortamında qiskit, qiskit-aer ve numpy paketleri yeterlidir; kurulumun tek bakışta özeti ana sayfadaki IDE ve çalıştırma bölümündedir. Gerçek donanımda denemek için AerSimulator() satırını QiskitRuntimeService().backend("ibm_brisbane") gibi bir IBM cihazıyla değiştirin; Bell testi donanım kalibrasyonunda klasik bir "sağlık testi"dir — $S$ değeri 2'ye düşüyorsa donanımda dolanıklık zayıflıyor demektir.

Örnek için kodda theta_a = 0, theta_b = π/4 seçilmiştir; Qiskit metin çıktısı bu açılarla üretilen qc'yi gösterir. ░ sütunu barrier() ile ölçüm bazı rotasyonları arasındaki ayraçtır. Tam CHSH için aynı şema dört farklı açı çiftiyle tekrarlanır — terminalde her çalıştırmada satır yapısı aynı kalır, yalnızca Ry(…) etiketleri değişir. Sağdaki SVG aynı iki kübit akışını kolon kolon okunur kılar.

     ┌───┐      ░  ┌───────┐ ┌─┐   
q_0: ┤ H ├──■───░──┤ Ry(0) ├─┤M├───
     └───┘┌─┴─┐ ░ ┌┴───────┴┐└╥┘┌─┐
q_1: ─────┤ X ├─░─┤ Ry(π/4) ├─╫─┤M├
          └───┘ ░ └─────────┘ ║ └╥┘
c: 2/═════════════════════════╩══╩═
                              0  1 

Bu şema, 5 · Aynı Devre (İki Temsil) bölümündeki akışı korur; tek bir Alice/Bob açı çifti için Bell testi devresini görselleştirir. Sol uçta klasik Bell çifti hazırlığı (H + CNOT); ortada Alice ve Bob'un seçtiği açılarla iki ayrı Ry rotasyonu; en sonda iki ayrı ölçüm. Tam CHSH bu devrenin dört kopyasıyla çalışır.

Şemayı adım adım oku

1. 1

   Bell çifti hazırlanır

   Soldaki H ve CNOT, iki kübiti dolanık bir Bell çiftine çevirir. Testin “yakıtı” bu korelasyondur.

2. 2

   Alice ve Bob ölçüm ayarını seçer

   Şemadaki iki Ry bloğu, ölçümden hemen önce “hangi açıdan bakacağımızı” ayarlar: Alice için θ_A, Bob için θ_B. CHSH, farklı açı çiftlerini dener.

3. 3

   Ölçüm ve korelasyon hesabı

   İki kübit ölçülür ve 00/01/10/11 sayımları alınır. Bu sayımlardan tek bir korelasyon değeri E hesaplanır. Aynı işlem dört farklı açı çifti için tekrarlanır.

4. 4

   CHSH skoru S çıkarılır

   Dört korelasyon değeri CHSH formülünde birleştirilir. Klasik sınır |S| ≤ 2 iken, ideal kuantum devresi S ≈ 2.83 değerine yaklaşır.