Kuantum Faz Tahmini (QPE)

QPE, bir üniter operatörün $U$ özvektörü $|\psi\rangle$ verildiğinde, ilgili özdeğerin normalize faz kesrini $\theta \in [0,1)$ tahmin etme problemidir. Burada “özdeğerin fazı”, özdeğerin tamamını değil; birim çember üzerindeki konumu ifade eden üssü belirtir (aşağıdaki köşe kutusu).

Sonlu boyutta bir üniter operatörün her özdeğeri $\lambda$, karmaşık düzlemde birim çember üzerindedir: $|\lambda|=1$. Bu yüzden her özdeğeri tek bir tam tur içindeki konumla kodlamak doğaldır: $\lambda = e^{2\pi i \theta}$. $\theta$ bir radyan açısı değildir; $2\pi$ radyanın kaçıncı kesrine denk geldiğini söyleyen tam tur kesridir (İngilizce literatürde “phase fraction” / “normalized phase”). Örneğin $\theta=1/4$, karmaşık düzlemde çeyrek tur ( $\pi/2$ radyan) anlamına gelir.

$|\psi\rangle$ tam olarak bu özdeğere ait bir özvektör ise $U|\psi\rangle = \lambda |\psi\rangle$ yazılır; yukarıdaki parametrizasyonla bu, $U|\psi\rangle = e^{2\pi i \theta}|\psi\rangle$ ile aynı şeydir. Pratikte $|\psi\rangle$ genelde bir oracle/hazırlık devresiyle yaklaşık olarak hazırlanır; QPE’nin hata analizi bu yakınlığı da hesaba katar.

Klasik dünyada devasa bir matrisin tüm özdeğer/özvektör yapısını genel olarak çıkarmak, boyut büyüdükçe çok pahalıdır; tam spektrum ya da çok sayıda özçifti hedefleyen yöntemlerde maliyet sıklıkla boyuta karşı üstel veya en azından “istediğiniz kesinliği her zaman ucuz tutamazsınız” rejimine kayar. QPE ise aynı problemi çözmeyi iddia etmez: tek bir özdeğerin faz kesrini, verilen bir özvektör üzerinde ve kontrollü ünite uygulamalarıyla okumayı hedefler.

Bu farkı net tutmak önemlidir. QPE’nin girdi modeli kabaca şöyledir: ünite $U$ ve onun bir özvektörüne yakın bir durum hazırlanabiliyor; devre de $U^{2^k}$ biçiminde kontrollü uygulanabiliyor. Bu koşullarda, üst register’a yazılan faz bilgisini IQFT ile bit dizisine çevirmek; hassasiyet kübiti sayısı $t$ ile seçilen çözünürlükte polinom (tipik olarak $O(t^2)$ kapı, QFT varsayımıyla) ölçeklenir — ama buradaki “polinom”, kontrollü $U$ bloğunun kendi maliyetine ek olarak gelir; oracle ağırsa QPE de ağırdır.

Özetle motivasyon: faz, birçok ileri algoritmanın “gizli parametresi”dir (1 · QPE nedir?). Klasik yoldan bu parametreyi çıkarmak zor olabilir; QPE ise doğru hazırlık altında onu ölçülebilir bir bit desenine taşımak için standart bir şablondur — sonraki bölümlerde bu şablonun register’lara ve kontrollü güçlere nasıl yayıldığını açıyoruz.

QPE devresi iki ayrı register arasında bir köprü kurar: üst hatlar fazı “ölçülebilir biçimde kodlamak” için seçilir; alt hatlar $U$’nun özvektörünü taşıyacak şekilde hazırlanır. Asıl “ağ” ise iki grubu birbirine bağlayan çok kübitli ünite bloklarıdır; klasik anlamda iki kablo arasında veri aktaran bir yol değil, tensör uzayında ortak uygulanan kontrollü kapılardır.

Tipik akış şöyle düşünülür: önce alt register’da $|\psi\rangle$ (veya buna yakın bir durum) hazırlanır; ardından üst register’a Hadamard katmanı gelir ki hassasiyet kübitleri süperpozisyonda “hangi deneyi yapıyorum?” dalını seçebilsin. Köprü aşamasında üstteki her kübit, alttaki register üzerinde üniteyi belirli bir üssün altında koşullu uygular — bu blokların tam sırası ve üssün seçimi 4 · Kontrollü‑U bölümünde açılır; burada önemli olan, iki tarafın tek tek klasik bit dizisi gibi değil, ortak kuantum durumu olarak bağlanmasıdır.

Köprünün taşıdığı şey doğrudan “alt kübitler → üst kübitlere kopyalanan klasik bilgi” değildir: özdeğere bağlı faz, kontrollü $U$ uygulamaları sırasında faz geri tepmesiyle üst hattaki göreli fazlara yazılır; alt register çoğu kurulumda özvektör üzerinde kalır. Bundan sonra IQFT yalnızca üst register üzerinde çalışır ve faz desenini klasik okunaklı bir bit etiketine dönüştürür — yani “ağın çıktısı” ölçüm öncesi üstte toplanan faz ilişkileridir.

• Hassasiyet register’ı (counting)

  Üstteki $t$ kübit, fazı hangi çözünürlükte okuyacağımızı belirler. Kübit sayısı arttıkça, $\theta$ ikili kesir olarak daha çok basamakla yakalanır. Başta Hadamard ile açılan bu hatlar, köprü boyunca alttaki ünite deneylerinin sonucunu kendi fazlarında biriktirir; sonda IQFT bu birikimi düzenler.

• Özvektör register’ı (state)

  Alttaki kübit(ler), $U$ operatörünün özvektörünü $|\psi\rangle$ taşır. Bu örnekte tek kübitlik $|\psi\rangle = |1\rangle$ hazırlıyoruz. Köprü sırasında bu hatlar ünite kapılarının hedef uzayıdır; kontrol ise üst hassasiyet kübitlerinden gelir.

• Çapraz bloklar — köprünün kendisi

  İki register’ı gerçekten birbirine bağlayan şey, çok kübitli kontrollü‑$U^{2^k}$ kapılarıdır: kontrol üstte, ünite gücü altta. Böylece alt özvektör üzerinde yapılan “aynı dal içinde” ünite işlemleri, üstte girişim yapabilecek göreli fazlara dönüşür. Bu mekanizmanın adı literatürde faz geri tepmesidir; iç yüzeyini 4 · Kontrollü‑U özetinde topluyoruz.

Üstteki her kübit, alttaki register üzerine $U$ operatörünü artan kuvvetlerde kontrollü uygular: $U^{2^0}, U^{2^1}, U^{2^2}, \ldots$. Bu düzen, $\theta$’nın (normalize) ikilik kesrini okumak için gereken ikilik ayrıştırmayı devreye gömer: her üst hat, farklı bir $2^j$ ölçeğinde bir faz farkı taşır.

$|\psi\rangle$ bir özvektör ve $U|\psi\rangle = e^{2\pi i\theta}|\psi\rangle$ ise, aynı durum üzerinde $U^{2^j}$ özdeğer fazını $2^j\theta$ tam tur kesrine kadar “büyütür”. Kontrollü uygulama bu fazı — klasik kabloyla değil, dolanıklık ve girişim yoluyla — ilgili üst kübitin göreli fazına aktarır; alttaki dal özvektör üzerinde kalır, bu yüzden ölçüm bazında çoğu zaman “aynı $|\psi\rangle$” izlenimi verir.

Sayfadaki öğretici kodda bu güçler, iç içe döngüyle aynı fiziksel kapıyı birden çok kez uygulayarak (repetitions) kurulur; böylece üstteki her counting hattı için toplam etki $U^{2^j}$ olur. Satır satır denklem ve cp yorumunu 7 · Kod analizi bölümünde kilitleyeceğiz; burada odak, “neden tam olarak bu üsler?” sorusunun cevabıdır.

Aşağıdaki örnekte $U$’yu, tek kübitlik bir kontrollü faz kapısı (cp(angle)) ile temsil ediyoruz. Hedef faz olarak $\theta=1/8$ seçilirse, 3 bit hassasiyetle beklenen çıktı 001 (ikili) civarında yoğunlaşır.

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit_aer import AerSimulator
from qiskit.circuit.library import QFT

def qpe_circuit(precision, angle):
    # Toplam: precision (t) + 1 (state)
    qc = QuantumCircuit(precision + 1, precision)
    
    # 1. State Register Hazırlığı: Özvektörü |1> yapıyoruz
    qc.x(precision)
    
    # 2. Precision Register Hazırlığı: Hadamard katmanı
    qc.h(range(precision))
    qc.barrier()
    
    # 3. Kontrollü-U Uygulaması (Gizli fazı içeren kapı)
    repetitions = 1
    for counting_qubit in range(precision):
        for i in range(repetitions):
            # Buradaki cp(angle) gizli fazımızı temsil eder
            qc.cp(angle, counting_qubit, precision)
        repetitions *= 2
    qc.barrier()
    
    # 4. Ters QFT (IQFT): Fazı bitlere dönüştür
    qc.append(QFT(precision).inverse(), range(precision))
    
    # 5. Ölçüm
    qc.measure(range(precision), range(precision))
    return qc

# 1/8 fazını tahmin edelim (Beklenen sonuç: 001 binary)
target_angle = 2 * np.pi * (1/8)
qc = qpe_circuit(3, target_angle)

# Sayfadaki tek şerit metin şema ile aynı (varsayılan print(qc) bazen »/« böler):
# print(qc.draw(output="text", fold=-1))

# Simülasyon
simulator = AerSimulator()
counts = simulator.run(qc, shots=1024).result().get_counts()
print(f"Tahmin Edilen Faz (Binary): {counts}")

Yukarıdaki editördeki qpe_circuit(3, θ) ile kurulan devrenin metin şeması; varsayılan print(qc) çıktısı çok geniş devreleri » / « ile ikinci panele bölebilir. Burada tek yatay şerit için Qiskit çiziminde fold=-1 kullanıldı (qc.draw(output="text", fold=-1)). Özet çizim için 8 · Devre ve Doğrulama SVG’sine bakın.

     ┌───┐ ░                                                                 ░ ┌───────┐┌─┐      
q_0: ┤ H ├─░──■──────────────────────────────────────────────────────────────░─┤0      ├┤M├──────
     ├───┤ ░  │                                                              ░ │       │└╥┘┌─┐   
q_1: ┤ H ├─░──┼────────■────────■────────────────────────────────────────────░─┤1 IQFT ├─╫─┤M├───
     ├───┤ ░  │        │        │                                            ░ │       │ ║ └╥┘┌─┐
q_2: ┤ H ├─░──┼────────┼────────┼────────■────────■────────■────────■────────░─┤2      ├─╫──╫─┤M├
     ├───┤ ░  │P(π/4)  │P(π/4)  │P(π/4)  │P(π/4)  │P(π/4)  │P(π/4)  │P(π/4)  ░ └───────┘ ║  ║ └╥┘
q_3: ┤ X ├─░──■────────■────────■────────■────────■────────■────────■────────░───────────╫──╫──╫─
     └───┘ ░                                                                 ░           ║  ║  ║ 
c: 3/════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╩══╩══╩═
                                                                                         0  1  2 

Düzen · hangi register neyi yapıyor?

Devrede toplam precision + 1 kübit var. İlk precision kübit “counting” (ölçülecek bitler), son kübit ise “state” register. Kodda bu son kübiti qc.x(precision) ile |1⟩ yapıyoruz.

Kontrollü‑U tekrarları · neden 1,2,4…?

repetitions değişkeni her counting kübiti için ikiye katlanır. Bu, $U^{2^k}$ uygulamakla aynı etkiye sahiptir. Böylece faz, üst register’a ikili basamaklar şeklinde “katman katman” yazılır.

Burada küçük bir matematiksel resim var: eğer $U|\psi\rangle = e^{2\pi i \theta}|\psi\rangle$ ise, $U^{2^k}|\psi\rangle = e^{2\pi i (2^k\theta)}|\psi\rangle$. Yani “kuvvet” büyüdükçe faz da $2^k$ ile büyür; bu büyümeyi IQFT, bit basamaklarına çözer.

Kontrol–hedef yönü · cp(angle) hangi fazı ekliyor?

Qiskit’te qc.cp(angle, control, target), yalnızca control=1 ve target=1 iken faz ekler. Bizim devrede “target” olarak state kübiti var ve onu |1⟩’e hazırlıyoruz. Böylece counting kübiti 1 olduğunda, state üzerinden faz birikir ve phase kickback ile counting fazı değişir.

IQFT · fazı bite çeviren adım

Kontrollü‑$U$ katmanından sonra counting register faz bilgisini taşır ama hâlâ “faz uzayı” temsilindedir. QFT(precision).inverse() (IQFT) bunu ölçülebilir bit dizisine dönüştürür.

Bit sırası (endianness) · “001” neyi temsil ediyor?

Ölçüm çıktısındaki bit dizisinin yorumlanması, framework’teki bit sıralamasıyla ilgilidir. Qiskit’te get_counts() anahtarları çoğu zaman “klasik bit dizisini” string olarak verir; bu string’in hangi bitinin p0 / p1 / p2’ye denk geldiğini, measure(q, c) eşlemesi belirler. Bu sayfada measure(range(precision), range(precision)) ile bire bir eşledik; bu yüzden baskın desenin “001” civarında olması, $\theta=1/8$ için beklediğimiz ikili kesirle uyumludur.

Aşağıdaki şema, 3 bit hassasiyetli QPE iskeletini gösterir: üstte Hadamard katmanı, ortada kontrollü $U^{2^k}$ blokları ve sonda IQFT. Blokların üzerindeki $2^0,2^1,2^2$ etiketleri, “ikili basamak” mantığını görünür kılar. Qiskit’in tam metin şeması (IQFT ve ölçüm kolonları dahil) için 6 · Terminal çıktısı (print(qc)) bölümüne bakın.

Şemayı adım adım oku

1. 1

   Counting register’ı süperpozisyona al

   Üstteki $t$ kübite Hadamard uygula. Bu, fazı yazacağımız “boş sayfa”yı açar.

2. 2

   Kontrollü $U^{2^k}$ katmanını uygula

   Her üst kübit, alttaki $|\psi\rangle$ üzerine $U$’yu artan kuvvetlerde uygular. Faz bilgisi phase kickback ile üst register’a kodlanır.

3. 3

   IQFT ile fazı bite çevir

   Counting register faz uzayındadır; IQFT, bunu ölçümle okunabilir ikili sayıya çevirir.

4. 4

   Ölç ve en olası bit desenini oku

   Ölçüm sonucundaki baskın bit dizisi, $\theta$’nın ikili kesir tahminidir. $\theta$ tam ikili kesir değilse dağılım “komşu” değerlere yayılır.

• Faz geri tepmesi (phase kickback)

  Kontrollü‑$U$ uygulandığında alt register özvektör olarak kalır; fakat faz, kontrol kübitinin fazına yazılır. QPE’nin “ölçemediğini ölçer gibi” yapmasının ana nedeni budur.

• Hassasiyet vs. hata

  $\theta$ her zaman $2^{-t}$ biçiminde olmayabilir. Bu durumda ölçümde tek bir bit dizisi yerine en yakın değerlere yayılan bir dağılım görürsünüz. Her ek precision kübiti çözünürlüğü artırır, dağılımı daraltır.

• Shor’a köprü

  Shor algoritmasının periyot bulma kısmı, QPE mekanizmasının modüler aritmetik operatörüne uygulanmış halidir. Bu yüzden QPE, “periyot teması”nın merkezinde durur.

• Görsel tasarım ipucu

  Şemada kontrollü‑$U$ bloklarının üstüne $2^0, 2^1, 2^2$ yazmak, algoritmanın ikili sayı sistemiyle nasıl çalıştığını tek bakışta hissettirir.